Problème
Exercice 1
Un joueur débute un jeu vidéo et effectue plusieurs parties successives. On admet que :
- la probabilité qu’il gagne la première partie est de 0,1
- s’il gagne une partie, la probabilité de gagner la suivante est égale à 0,8
- s’il perd une partie, la probabilité de gagner la suivante est égale à 0,6.
- \(G_n\) l’évènement « le joueur gagne la \(n\)-ième partie »
- \(p_n\) la probabilité de l’évènement \(G_n\)
1
Montrer que \(p_2=0,62\). On pourra s’aider d’un arbre pondéré.
2
Le joueur a gagné la 2ème partie. Calculer la probabilité qu’il ait perdu la première.
3
Calculer la probabilité qu'il gagne au moins une partie sur les trois premières.
4
Montrer que pour tout entier naturel n non nul, \(p_{n+1}=15 p_n + 35\).
5
On souhaite prouver que \(p_n=\frac{3}{4}−\frac{13}{4}(\frac{1}{5})^n\). On pose \(u_n=p_n - \frac{3}{4}\).
a
Calculer \(u_0\).
b
Montrer que la suite \((u_n)\) est une suite géométrique de raison \(\frac{1}{5}\). Conclure.
6
Déterminer la limite de la suite \((u_n)\) quand \(n\) tend vers \(+\infty\). En déduire la limite de la suite \((p_n)\) quand \(n\) tend vers \(+\infty\)
7
Pour quelles valeurs de l’entier naturel n a-t-on : \(\frac{3}{4}−p_n\lt10^{−7}\) ?
8
Interprétez les résultats obtenus aux questions 6 et 7.
Exercice 2
Un joueur de basket-ball s’entraîne aux lancers francs :
- s’il réussit un lancer, il a 70% de chances de réussir le lancer suivant
- s’il rate un lancer, il a 60% de chances de rater également le suivant.
1
A l'aide d'un arbre pondéré, calculer \(p_2\).
2
Démontrer que pour tout entier naturel non nul : \(p_{n+1}=0,3p_n+0,4\)
3
On considère la suite (un) définie pour tout entier naturel non nul par : \(u_n=p_n−47\). Calculer \(u_1\).
4
Montrer que \((u_n)\) est géométrique. Préciser ses éléments caractéristiques.
5
En déduire l'expression de \(u_n\) en fonction de \(n\), puis l'expression de \(p_n\) en fonction de \(n\)